数学家的表白

心形是用来表达爱意的符号。在数学中，有很多方程或者公式可以产生“心形”曲线。今天我们就聊一聊那些“心形”曲线。

归功于传说中笛卡尔和瑞典公主的爱情故事，心形线（Cardioid）大概是最著名的“心形”曲线了。在故事中，笛卡尔以数学家独有的方式向公主表白。虽然这大概率是好事者所杜撰，但有兴趣的话不妨一读（此事谷歌不知百度知）。

心形线是外摆线的一种，它可以按照下面的方法产生。首先画一个圆（图中蓝色色的圆），然后在该圆上滚动一个与其半径相等的圆。移动的圆上固定的一点的轨迹就是心形线。

心形线是外摆线

在极坐标下，心形线的方程为
r(\theta)=2a(1-\cos(\theta));
在笛卡尔坐标系下，心形线满足的方程则是
(x^2+y^2)^2+4ax(x^2+y^2)=4a^2y^2.

有点胖的心形线

心形曲线的构造

方法 1

“心形”曲线可以由两个或者几个图形剪接而成，最简单的是下面这个例子。

其基本步骤为：

  • 画一等边三角形。
  • 作两腰的垂线，使垂足交于一点。
  • 以图中黄色三角形的腰为直径作两个半圆。

方法 2

下面的方法也并不复杂：

  • 作两个半径相等的圆，并且让它们相切。
  • 作两圆的公切线。
  • 在公切线稍远一点的地方分别作两个圆的切线。

方法 3

还可以对两个椭圆进行剪接，构造心形线。考虑椭圆
2x^2-2xy+y^2=1
和椭圆
2x^2+2xy+y^2=1。
它们的图像为

每个椭圆各取一半，就可以得到下面的心形图案。

这颗心有点瘦

该“心形”曲线有一个简答的表达式:
2x^2-2|x|y+y^2=1

构造有简单表达式的“心形”曲线并不容易。

其它心形曲线

或许是数学家们太想遇到他们的公主了，有很多具有简单表达式的“心形”曲线被构造出来。（说出来你可能不信，有人用心形线写了篇论文，见文献 [3]）。这里仅仅列举几个例子,

(x^2+y^2-1)^3=x^2y^3 的图像为：

$(x^2+y^2-1)^3=x^2y^3$

x^2+2(0.6x^{2/3}-y)^2=1的图像为：

$x^2+2(0.6x^{2/3}-y)^2=1$

x^2+2(y-0.5\sqrt{|x|})^2=1的图像为：

$x^2+2(y-0.5\sqrt{|x|})^2=1$

x^2+2(y-\sqrt{|x|})^2=1的图像为：

$x^2+2(y-\sqrt{|x|})^2=1$

y=x^{0.4}+0.9\sqrt{4-x^2}\sin(20\pi x)的图像为：

$y=x^{0.4}+0.9\sqrt{4-x^2}\sin(20\pi x)$

参考文献

[1]. Wlfram Mthworld

[2]. Heart curves

[3]. Solving the heart curve with geogebra

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